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VNA_Cal/vna_cal.aux
View file @ 032ab289
\relax
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {1}Introduction}{1}}
\@writefile{toc}{\contentsline {paragraph}{}{1}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2}Calibration 1 port}{2}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.1}Param\IeC {\`e}tres S}{2}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.2}Mesures}{2}}
\@writefile{toc}{\contentsline {paragraph}{}{2}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {1}Fonctionnement de l'analyseur de r\IeC {\'e}seau vectoriel}{1}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2}Principe}{2}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.1}Mod\IeC {\`e}le id\IeC {\'e}al}{2}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.2}Calibration 1 port}{3}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {3}Calibration}{5}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {3.1}Equation g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}rique}{5}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {3.2}Calibration SOL - Short Open Load}{5}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {1}{\ignorespaces Schema charge adapt\IeC {\'e}e\relax }}{5}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {2}{\ignorespaces Schema court-circuit\relax }}{6}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {3}{\ignorespaces Schema circuit ouvert\relax }}{6}}
VNA_Cal/vna_cal.log
View file @ 032ab289
This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.18 (TeX Live 2017/Debian) (preloaded format=pdflatex 2018.10.31) 19 SEP 2019 00:29
This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.18 (TeX Live 2017/Debian) (preloaded format=pdflatex 2018.10.14) 22 SEP 2019 12:07
entering extended mode
restricted \write18 enabled.
%&-line parsing enabled.
......@@ -91,10 +91,50 @@ Package: amsfonts 2013/01/14 v3.01 Basic AMSFonts support
LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 106.
))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
Package: graphicx 2017/06/01 v1.1a Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
Package: keyval 2014/10/28 v1.15 key=value parser (DPC)
\KV@toks@=\toks19
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
Package: graphics 2017/06/25 v1.2c Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
Package: trig 2016/01/03 v1.10 sin cos tan (DPC)
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg
File: graphics.cfg 2016/06/04 v1.11 sample graphics configuration
)
Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 99.
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def
File: pdftex.def 2018/01/08 v1.0l Graphics/color driver for pdftex
))
\Gin@req@height=\dimen112
\Gin@req@width=\dimen113
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/caption/caption.sty
Package: caption 2016/02/21 v3.3-144 Customizing captions (AR)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/caption/caption3.sty
Package: caption3 2016/05/22 v1.7-166 caption3 kernel (AR)
Package caption3 Info: TeX engine: e-TeX on input line 67.
\captionmargin=\dimen114
\captionmargin@=\dimen115
\captionwidth=\dimen116
\caption@tempdima=\dimen117
\caption@indent=\dimen118
\caption@parindent=\dimen119
\caption@hangindent=\dimen120
)
\c@ContinuedFloat=\count99
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
Package: inputenc 2015/03/17 v1.2c Input encoding file
\inpenc@prehook=\toks19
\inpenc@posthook=\toks20
\inpenc@prehook=\toks20
\inpenc@posthook=\toks21
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/utf8.def
File: utf8.def 2017/01/28 v1.1t UTF-8 support for inputenc
......@@ -418,24 +458,96 @@ LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding T1 on input line 48.
)) (./vna_cal.aux)
\openout1 = `vna_cal.aux'.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 12.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 12.
LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 12.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 12.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 12.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 12.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 12.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 12.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 12.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 12.
LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 12.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 12.
LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 14.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 14.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 14.
LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 14.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 14.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 14.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 14.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 14.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 14.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 14.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 14.
LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 14.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 14.
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/context/base/mkii/supp-pdf.mkii
[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
\scratchcounter=\count100
\scratchdimen=\dimen121
\scratchbox=\box28
\nofMPsegments=\count101
\nofMParguments=\count102
\everyMPshowfont=\toks22
\MPscratchCnt=\count103
\MPscratchDim=\dimen122
\MPnumerator=\count104
\makeMPintoPDFobject=\count105
\everyMPtoPDFconversion=\toks23
) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/epstopdf-base.sty
Package: epstopdf-base 2016/05/15 v2.6 Base part for package epstopdf
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/infwarerr.sty
Package: infwarerr 2016/05/16 v1.4 Providing info/warning/error messages (HO)
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/grfext.sty
Package: grfext 2016/05/16 v1.2 Manage graphics extensions (HO)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/kvdefinekeys.sty
Package: kvdefinekeys 2016/05/16 v1.4 Define keys (HO)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ltxcmds.sty
Package: ltxcmds 2016/05/16 v1.23 LaTeX kernel commands for general use (HO)
)))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
Package: kvoptions 2016/05/16 v3.12 Key value format for package options (HO)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/kvsetkeys.sty
Package: kvsetkeys 2016/05/16 v1.17 Key value parser (HO)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/etexcmds.sty
Package: etexcmds 2016/05/16 v1.6 Avoid name clashes with e-TeX commands (HO)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ifluatex.sty
Package: ifluatex 2016/05/16 v1.4 Provides the ifluatex switch (HO)
Package ifluatex Info: LuaTeX not detected.
)
Package etexcmds Info: Could not find \expanded.
(etexcmds) That can mean that you are not using pdfTeX 1.50 or
(etexcmds) that some package has redefined \expanded.
(etexcmds) In the latter case, load this package earlier.
)))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/pdftexcmds.sty
Package: pdftexcmds 2018/01/21 v0.26 Utility functions of pdfTeX for LuaTeX (HO
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ifpdf.sty
Package: ifpdf 2017/03/15 v3.2 Provides the ifpdf switch
)
Package pdftexcmds Info: LuaTeX not detected.
Package pdftexcmds Info: \pdf@primitive is available.
Package pdftexcmds Info: \pdf@ifprimitive is available.
Package pdftexcmds Info: \pdfdraftmode found.
)
Package epstopdf-base Info: Redefining graphics rule for `.eps' on input line 4
38.
Package grfext Info: Graphics extension search list:
(grfext) [.pdf,.png,.jpg,.mps,.jpeg,.jbig2,.jb2,.PDF,.PNG,.JPG,.JPE
G,.JBIG2,.JB2,.eps]
(grfext) \AppendGraphicsExtensions on input line 456.
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/latexconfig/epstopdf-sys.cfg
File: epstopdf-sys.cfg 2010/07/13 v1.3 Configuration of (r)epstopdf for TeX Liv
e
))
Package caption Info: Begin \AtBeginDocument code.
Package caption Info: End \AtBeginDocument code.
LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 16.
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols A
)
LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 14.
LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 16.
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B
......@@ -445,30 +557,103 @@ File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B
\tf@toc=\write3
\openout3 = `vna_cal.toc'.
[2] [1] [2] (./vna_cal.aux) )
[2] [1]
<vna_ideal.jpg, id=17, 1094.0875pt x 741.77126pt>
File: vna_ideal.jpg Graphic file (type jpg)
<use vna_ideal.jpg>
Package pdftex.def Info: vna_ideal.jpg used on input line 32.
(pdftex.def) Requested size: 345.00665pt x 233.90819pt.
[2 <./vna_ideal.jpg>]
<vna_erreur.jpg, id=26, 836.12375pt x 325.215pt>
File: vna_erreur.jpg Graphic file (type jpg)
<use vna_erreur.jpg>
Package pdftex.def Info: vna_erreur.jpg used on input line 60.
(pdftex.def) Requested size: 345.00737pt x 134.19254pt.
Overfull \hbox (15.00737pt too wide) in paragraph at lines 60--61
[][]
[]
<matrice_erreur.jpg, id=27, 1159.33125pt x 527.9725pt>
File: matrice_erreur.jpg Graphic file (type jpg)
<use matrice_erreur.jpg>
Package pdftex.def Info: matrice_erreur.jpg used on input line 64.
(pdftex.def) Requested size: 344.98936pt x 157.11203pt.
Overfull \hbox (14.98936pt too wide) in paragraph at lines 64--65
[][]
[]
[3 <./vna_erreur.jpg> <./matrice_erreur.jpg>]
LaTeX Font Info: Try loading font information for OMS+cmr on input line 101.
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/omscmr.fd
File: omscmr.fd 2014/09/29 v2.5h Standard LaTeX font definitions
)
LaTeX Font Info: Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <10> not available
(Font) Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 101.
[4]
<matrice_charge.jpg, id=36, 1193.45876pt x 476.78125pt>
File: matrice_charge.jpg Graphic file (type jpg)
<use matrice_charge.jpg>
Package pdftex.def Info: matrice_charge.jpg used on input line 123.
(pdftex.def) Requested size: 345.00153pt x 137.8265pt.
Package caption Warning: \captionsetup{type*=...} or \captionof
(caption) outside box or environment on input line 124.
See the caption package documentation for explanation.
Overfull \hbox (15.00153pt too wide) in paragraph at lines 123--124
[][]
[]
[5 <./matrice_charge.jpg>]
<matrice_court.jpg, id=41, 1189.44376pt x 482.80376pt>
File: matrice_court.jpg Graphic file (type jpg)
<use matrice_court.jpg>
Package pdftex.def Info: matrice_court.jpg used on input line 132.
(pdftex.def) Requested size: 344.9843pt x 140.0316pt.
<matrice_ouvert.jpg, id=42, 1187.43625pt x 458.71375pt>
File: matrice_ouvert.jpg Graphic file (type jpg)
<use matrice_ouvert.jpg>
Package pdftex.def Info: matrice_ouvert.jpg used on input line 140.
(pdftex.def) Requested size: 344.99997pt x 133.27556pt.
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 148--159
[]
[6 <./matrice_court.jpg> <./matrice_ouvert.jpg>] (./vna_cal.aux) )
Here is how much of TeX's memory you used:
1660 strings out of 492982
16769 string characters out of 6134895
72442 words of memory out of 5000000
5236 multiletter control sequences out of 15000+600000
3976 strings out of 492982
55053 string characters out of 6134895
114072 words of memory out of 5000000
7472 multiletter control sequences out of 15000+600000
15374 words of font info for 47 fonts, out of 8000000 for 9000
1141 hyphenation exceptions out of 8191
27i,9n,26p,253b,199s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s
{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-sup
er-t1.enc}</usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi10.
pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi7.pfb></u
sr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb></usr/shar
e/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr7.pfb></usr/share/texliv
e/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf/fonts/
type1/public/cm-super/sfbx1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-supe
r/sfbx1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1440.pfb></usr
/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/t
ype1/public/cm-super/sfrm1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super
/sfrm1728.pfb>
Output written on vna_cal.pdf (4 pages, 126685 bytes).
41i,10n,39p,535b,201s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s
{/usr/share/t
exmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}</usr/share/texlive/texmf-dist/fo
nts/type1/public/amsfonts/cm/cmex10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/ty
pe1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/pu
blic/amsfonts/cm/cmmi5.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/am
sfonts/cm/cmmi7.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/
cm/cmr10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr5
.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr7.pfb></u
sr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy10.pfb></usr/sha
re/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texm
f/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public
/cm-super/sfbx1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1440.p
fb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1000.pfb></usr/share/texmf
/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/
cm-super/sfrm1728.pfb>
Output written on vna_cal.pdf (8 pages, 691335 bytes).
PDF statistics:
62 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
44 compressed objects within 1 object stream
98 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
66 compressed objects within 1 object stream
0 named destinations out of 1000 (max. 500000)
1 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)
31 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)
VNA_Cal/vna_cal.pdf
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VNA_Cal/vna_cal.tex
View file @ 032ab289
......@@ -2,6 +2,8 @@
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{caption}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
......@@ -20,57 +22,145 @@
\pagenumbering{arabic}
\section{Introduction}
\paragraph{}
Un VNA est un appareil mesurant 1 (ou N) ratio entre un signal émis $a1$ et une image du signal transformé par un système linéaire $b1$. Cette mesure est une mesure complexe, ainsi
elle contient une information de phase et d'amplitude (au contraire d'un analyseur scalaire qui ne mesure d'une information d'amplitude).
\section{Fonctionnement de l'analyseur de réseau vectoriel}
ICI Schéma
Un analyseur de réseau vectoriel est un appareil de mesure servant à qualifier des "composants" électroniques. Il fonctionne sur un principe de caractérisation de boite noire. Un analyseur idéal émet un signal connu (souvent une sinusoide à une fréquence donnée) et mesure l'amplitude/phase relative du signal refléter et du signal traversant. Ces mesures permettent de caractériser le DUT (device under test) en tant que boite noire et d'établir la matrice de paramètres correspondant au composant.
\newpage
\section{Principe}
\subsection{Modèle idéal}
\includegraphics[width=\textwidth,height=\textheight,keepaspectratio]{vna_ideal.jpg}
Dans le cas d'un VNA idéal l'impédance de sortie du port est nominale à Z0 (généralement 50 ohm mais aussi 75 ou 300 suivant les sytèmes analysés).
On peut considérer le coupleur de sortie comme parfait ce qui veut dire qu'il n'existe pas de chemin entre les ports \textbf{c1/c3} et les ports \textbf{c0/c2}. On peut aussi considérer que $\alpha = \beta$.
Cette configuration permet d'effectuer la mesure du coefficient de réflexion du DUT ($\Gamma_d$):
\begin{align*}
ref&=\alpha.a1\\
meas&=\beta.b1\\
\frac{meas}{ref}&=\frac{\beta.b1}{\alpha.a1}\\
R&=\frac{\beta}{\alpha}\\
\frac{meas}{ref}&=R.\frac{b1}{a1}\\
a1&=gen.(1-\alpha)\\
b1&=\Gamma_d.a1=\Gamma_d.gen.(1-\alpha)\\
meas&=\beta.b1=\beta.\Gamma_d.gen.(1-\alpha)\\
ref&=gen.\beta
\end{align*}
Les coefficients $\alpha$ et $\beta$ sont constants (à une fréquence donnée) ils seront donc absobés dans la calibration (à justifier !)
La mesure du coefficient de réflexion dans cette configuration est donc celle du DUT à un facteur pres connu:
\begin{align*}
\Gamma_m&=\frac{meas}{ref}\\
&=\Gamma_d(1-\alpha)
\end{align*}
Dans une implémentation réelle il est peu probable d'atteindre un tel niveau de précision et le moindre défaut de conception va drastiquement polluer la mesure.
Il va donc falloir compenser ces défauts avec une calibration de l'appareil.
\newpage
\section{Calibration 1 port}
\subsection{Paramètres S}
Nous reprendrons un schéma proche de celui que l'on trouve chez Agilent avec un port parfait et une matrice de biais (sous forme de paramètres S).
\subsection{Calibration 1 port}
Pour simplifier les calculs et ne pas devoir qualifier tous les chemins d'erreurs de manière exhaustive, il est possible de considérer un VNA idéal suivi d'un \textbf{DUT virtuel} qui représentera les défauts de l'appareil, ce DUT virtual s'intercale avant le DUT réel et vient donc modifier la mesure.
\includegraphics[width=\textwidth,height=\textheight,keepaspectratio]{vna_erreur.jpg}
Le but de la calibration va donc consister à définir suffisamment d'élément de la matrice de paramètre d'erreurs pour compenser les défauts de mesure. Nous considérons que les coefficients de couplage du coupleur de sortie sont unitaires, le coefficient sera corrigé directement par la calibration. $ref = a1$ et $meas = b1$.
\includegraphics[width=\textwidth,height=\textheight,keepaspectratio]{matrice_erreur.jpg}
Il s'agit d'une matrice de paramètres S (voir Annex. TDB).
$\begin{bmatrix}
b1 \\
b2
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
E_{11} & E_{12}\\
E_{21} & E_{22}
\end{bmatrix}.
\begin{bmatrix}
a1 \\
a2
\end{bmatrix} =>
\begin{cases}
b1 &= a1.E_{11} + a2.E_{12}\\
b2 &= a1.E_{21} + a2.E_{22}\\
\end{cases}$
\newpage
On remarquera que dans la calibration mono port $a2 = b2.\Gamma_d$. On peut ici utiliser un diagramme de flux ou simplement développer les équations précédentes.
\begin{align*}
b1 &= a1.B_{11} + a2.B_{12}\\
b2 &= a1.B_{21} + a2.B_{22}\\
b2&=a1.E_{21}+b2.\Gamma_d.E_{22}=-\frac{(E_{21}.a1)}{E_{22}.\Gamma_d-1}\\
b1&=a1.E_{11}+\Gamma_d.E_{12}.\frac{-E_{21}.a1}{E_{22}.\Gamma_d-1}=\frac{a1.(E_{11}.E_{22}.\Gamma_d-E_{12}.E_{21}.\Gamma_d-E_{11})}{E_{22}.\Gamma_d-1}\\
\frac{b1}{a1}&=\frac{\Gamma_d.(E_{11}.E_{22}-E_{12}.E_{21})-E_{11}}{E_{22}.\Gamma_d-1}
\end{align*}
On remarquera que dans la calibration mono port $a2 = b2.\Gamma_l$. On peut ici utiliser un diagramme de flux ou simplement développer les équations précédentes.
Dans ce cas de figure la caracterisation complete de la matrice d'erreur n'est pas importante, ce qui compte c'est de trouver des coefficients de compensation. En resolvant l'équation précédente pour $\Gamma_d$ on peut trouver les inconnues regroupables en termes. Définissons $\Gamma_m$ comme la mesure du rapport $\frac{b1}{a1}$
\begin{align*}
b2&=-\frac{(E_{21}.a1)}{E_{22}.\Gamma_l-1}\\
b1&=\frac{a1.(E_{11}.E_{22}.\Gamma_l-E_{12}.E_{21}.\Gamma_l-E_{11})}{E_{22}.\Gamma_l-1}\\
\frac{b1}{a1}&=\frac{\Gamma_l.(E_{11}.E_{22}-E_{12}.E_{21})-E_{11}}{E_{22}.\Gamma_l-1}
\Gamma_m&=\frac{\Gamma_d.(E_{11}.E_{22}-E_{12}.E_{21})-E_{11}}{E_{22}.\Gamma_d-1}\\
\Gamma_d&=\frac{\Gamma_m-E_{11}}{(E_{11}.E_{22}-E_{12}.E_{21})-E_{22}.\Gamma_m}
\end{align*}
$\Gamma_d$ est exprimable en fonction de 3 termes:
\begin{itemize}
\item $E_{11}$
\item $E_{22}$
\item $(E_{11}.E_{22}-E_{12}.E_{21})$
\end{itemize}
Définissons $\Delta = (E_{11}.E_{22}-E_{12}.E_{21})$.
\begin{align*}
\Gamma_d&=\frac{\Gamma_m-E_{11}}{\Delta-E_{22}.\Gamma_m}
\end{align*}
Nous avons donc une expression de $\Gamma_d$ en fonction de 3 inconnues. Il est donc possible de compenser les erreurs en réalisant 3 mesures sur des calibres arbitraires connus.
\newpage
Dans ce cas de figure la caracterisation complete de la matrice d'erreur n'est pas importante, ce qui compte c'est de trouver des coefficients de compensation, on peut donc grouper des inconnues de manière à obtenir 3 inconnues.
\section{Calibration}
\subsection{Equation générique}
Définissons une fonction de $\Gamma_d$ retournant $\Gamma_m$, cette fonction servira de base au calcul des coefficients de correction:
\begin{align*}
f(\Gamma_d)&=\frac{\Delta.\Gamma_d-E_{11}}{\Gamma_d.E_{22}-1}
\end{align*}
L'étape suivante sera donc de choisir 3 calibres connus, pour réaliser 3 mesures de référence ainsi qu'extraire les coefficients de calibration.
Définissons $\Gamma_m$ comme la mesure du rapport $\frac{b1}{a1}$ et $\Delta = (E_{11}.E_{22}-E_{12}.E_{21})$ (justifier ca).
\subsection{Calibration SOL - Short Open Load}
Un exemple courant de calibration pour les mesures coaxiales est la calibration SOL(T), dans ce cas précis les calibres utilisés sont une charge adaptée (généralement 50$\Omega$), un court-circuit et un circuit ouvert.
On a donc:
\includegraphics[width=\textwidth,height=\textheight,keepaspectratio]{matrice_charge.jpg}
\captionof{figure}{Schema charge adaptée}
Dans le cas de la charge adaptée le coefficient de réflexion est 0:
\begin{align*}
\Gamma_{ml}&=f(0)=E_{11}
\end{align*}
\newpage
\includegraphics[width=\textwidth,height=\textheight,keepaspectratio]{matrice_court.jpg}
\captionof{figure}{Schema court-circuit}
Dans le cas du court-circuit le coefficient de réflexion est -1:
\begin{align*}
\Gamma_m&=\frac{\Gamma_l.\Delta-E_{11}}{E_{22}.\Gamma_l-1}
\Gamma_{ms}&=f(-1)=\frac{-\Delta-E_{11}}{-E_{22}-1}
\end{align*}
\subsection{Mesures}
Le système est donc maintenant dépendant de 3 variables et nous pouvons réaliser trois mesures.
\includegraphics[width=\textwidth,height=\textheight,keepaspectratio]{matrice_ouvert.jpg}
\captionof{figure}{Schema circuit ouvert}
\subsection{Calibration SOL}
Dans le cas du court-circuit le coefficient de réflexion est 1:
\begin{align*}
\Gamma_{mo}&=f(1)=\frac{\Delta-E_{11}}{E_{22}-1}
\end{align*}
\paragraph{}
Ces trois mesures forment un systèmes de 3 équations à trois inconnues:
$\begin{cases}
\Gamma_{ml}&=E_{11}\\
\Gamma_{ms}&=\frac{-\Delta-E_{11}}{-E_{22}-1}\\
\Gamma_{mo}&=\frac{\Delta-E_{11}}{E_{22}-1}\\
\end{cases} =>
\begin{cases}
E_{11}&=\Gamma_{ml}\\
E_{22}&=-\frac{-\Gamma_{ms}-\Gamma_{mo}+2.\Gamma_{ml}}{\Gamma_{mo}-\Gamma_{ms}}\\
\Delta&=-\frac{\Gamma_{ml}.(\Gamma_{ms}+\Gamma_{mo})-2.\Gamma_{mo}.\Gamma_{ms}}{\Gamma_{mo}-\Gamma_{ms}}\\
\end{cases}$\\
Il est possible maintenant de définir $\Gamma_d$ en fonction d'une mesure $\Gamma_m$ et des trois mesures de calibration.
\begin{align*}
\Gamma_d&=\frac{\Gamma_m-E_{11}}{\Delta-E_{22}.\Gamma_m}
&=\frac{\Gamma_m-\Gamma_{ml}}{-\frac{\Gamma_{ml}.(\Gamma_{ms}+\Gamma_{mo})-2.\Gamma_{mo}.\Gamma_{ms}}{\Gamma_{mo}-\Gamma_{ms}}+\frac{-\Gamma_{ms}-\Gamma_{mo}+2.\Gamma_{ml}}{\Gamma_{mo}-\Gamma_{ms}}.\Gamma_m}
\end{align*}
\newpage
\end{document}
VNA_Cal/vna_cal.toc
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\contentsline {section}{\numberline {1}Introduction}{1}
\contentsline {paragraph}{}{1}
\contentsline {section}{\numberline {2}Calibration 1 port}{2}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.1}Param\IeC {\`e}tres S}{2}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.2}Mesures}{2}
\contentsline {paragraph}{}{2}
\contentsline {section}{\numberline {1}Fonctionnement de l'analyseur de r\IeC {\'e}seau vectoriel}{1}
\contentsline {section}{\numberline {2}Principe}{2}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.1}Mod\IeC {\`e}le id\IeC {\'e}al}{2}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.2}Calibration 1 port}{3}
\contentsline {section}{\numberline {3}Calibration}{5}
\contentsline {subsection}{\numberline {3.1}Equation g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}rique}{5}
\contentsline {subsection}{\numberline {3.2}Calibration SOL - Short Open Load}{5}