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\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
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\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[squaren,Gray]{SIunits}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{asymptote}
\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter\norm{\lVert}{\rVert}
\title{BER, SNR, $\frac{Eb}{N0}$ et autres joyeusetés}
\date{2019-01-01}
\author{Mehdi Khairy}
\begin{document}
\pagenumbering{gobble}
\maketitle
\newpage
\setcounter{tocdepth}{2}
\tableofcontents
\newpage
\pagenumbering{arabic}
\section{Introduction}
\paragraph{}
Ce document à pour but de regrouper les informations nécessaires à la compréhension du calcul de BER d'une modulation numérique.
\section{Définition}
\paragraph{}
\begin{description}
\item[k] : constante de Boltzmann $\unit{13.8064852}{\yoctod\joule\per\kelvin}$
\item[N0] : densité de bruit par Hz dans la bande en $\watt\per\hertz$
\item[Eb] : energie du signal par bit transmis en $\watt$
\item[Db] : débit binaire de l'information transmise en $bits\per\second$
\item[Es] : energie du signal par symbole transmis en $\watt$
\item[Ds] : débit symbole en $symbole\per\second$
\end{description}
\newpage
\section{Puissance du signal}
\subsection{Puissance d'un echantillon}
\paragraph{}
Le signal modulé en bande de base peut-être représenté sous la forme d'un produit de convolution entre
la séquence de symboles à envoyer et le filtre de mise en forme:
\begin{align*}
st(n)&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\mathbb{S}_k.h(n-k.Ne)
\end{align*}
Un signal numérique peut etre considérer comme une suite de valeur representant des tensions (pour des courants il faudra adapter le facteur de correction), la puissance d'un tel signal peut donc être calculer avec la loi d'ohm $P = U.I = \frac{|U|^2}{R}$ avec $U = st(n) * \beta$ ou $\beta$ est le facteur de multiplication de l'ADC. On défini donc la puissance du signal par:
\begin{align*}
P(n) &= \frac{\abs*{st(n)*\beta}^2}{R} = \abs*{st(n)}^2*\frac{\abs*{\beta}^2}{R}
\end{align*}
On défini donc la constante $\alpha = \frac{\abs*{\beta}^2}{R}$
\begin{align*}
P(n)&=\abs*{\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\mathbb{S}_k.h(n-k.Ne)}^2*\alpha
\end{align*}
Avec pour chaque k, $\mathbb{S}_k$ une variable aléatoire complexe représentant les valeurs possibles de la suite de symboles. $Ne$ le
nombres d'échantillons séparant l'émission de deux symboles et $h(n)$ le filtre de mise en forme.
\paragraph{}
Les variables $\mathbb{S}_k$ sont décorrélées. On a donc $\mathbb{E}(\mathbb{S}_k.\mathbb{S}_j^*)=0$.
On peut donc calculer une espérance de la puissance du signal pour tous les échantillons:
\begin{align*}
\mathbb{E}(\abs*{st(n)}^2) &= \mathbb{E}\left(\abs*{\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\mathbb{S}_k.h(n-k.Ne)}^2\right)
\end{align*}
On peut simplifier le module au carré en le transformant en multiplication complexe, en effet: $|a|^2=a.a^*$
\begin{align*}
\mathbb{E}(\abs*{st(n)}^2) &= \mathbb{E}\left(\left(\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\mathbb{S}_k.h(n-k.Ne)\right).\left(\sum_{j=-\infty}^{+\infty}\mathbb{S}_j.h(n-j.Ne)\right)^*\right)
\end{align*}
Définissons $\mathbb{S}_{kn}=\mathbb{S}_k.h(n-k.Ne)$ et $\mathbb{S}_{jn}^*=\mathbb{S}_j^*.h(n-j.Ne)^*$. On peut développer
l'équation précédente.
\begin{align*}
\mathbb{E}(\abs*{st(n)}^2) &= \mathbb{E}\left(\left(\sum_{k=j}^{}(\mathbb{S}_{kn}.\mathbb{S}_{jn}^*)\right)+\left(\sum_{k!=j}^{}(\mathbb{S}_{kn}.\mathbb{S}_{jn}^*)\right)\right)\\
&=\left(\sum_{k=j}^{}\mathbb{E}(\mathbb{S}_{kn}.\mathbb{S}_{jn}^*)\right)+\left(\sum_{k!=j}^{}\mathbb{E}(\mathbb{S}_{kn}.\mathbb{S}_{jn}^*)\right)
\end{align*}
Le deuxième terme peut s'écrire $\sum_{k!=j}^{}(\mathbb{E}(\mathbb{S}_{kn}.\mathbb{S}_{jn}^*).h(n-kNe).h(n-jNe)^*)$ le deuxième terme est donc nul.
\begin{align*}
\mathbb{E}(\abs*{st(n)}^2) &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\mathbb{E}(\mathbb{S}_k.\mathbb{S}_k^*).(h(n-kNe).h(n-kNe)^*))\\
&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\mathbb{E}(\abs*{\mathbb{S}_k}^2).\abs*{h(n-kNe)}^2
\end{align*}
Puisque $\mathbb{E}(\abs*{\mathbb{S}_k}^2)$ ne dépend pas de $k$ nous la renommons $\mathbb{S}^2$.
\newpage
\subsection{Puissance moyenne}
Rappelons l'équation précédente:
\begin{align*}
\mathbb{E}(\abs*{st(n)}^2)&=\mathbb{S}^2.\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\abs*{{h(n-kNe)}}^2)
\end{align*}
Définissons $f(n) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\abs*{h(n-kNe)}^2)$. Pour calculer la puissance moyenne du signal il faut
trouver une periode sur laquelle baser la moyenne. Si $f(n)$ est périodique de période $Ne$ alors $f(n) = f(n+Ne)$
\begin{align*}
f(n)&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\abs*{h(n-kNe)}^2)\\
f(n+Ne)&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\abs*{h(n+Ne-kNe)}^2)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\abs*{h(n+(1-k)Ne)}^2)\\
&=\sum_{k=-\infty+1}^{+\infty+1}(\abs*{h(n-kNe)}^2)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\abs*{h(n-kNe)}^2)\\
f(n)&=f(n+Ne)
\end{align*}
On en déduit donc que $Pst$, la puissance moyenne du signal $st$ est définie de la façon suivante:
\begin{align*}
Pst&=\frac{1}{Ne}.\sum_{n=0}^{Ne-1}\mathbb{E}(\abs*{st(n)}^2)\\
&=\frac{1}{Ne}.\sum_{n=0}^{Ne-1}\left(\mathbb{S}^2.\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\abs*{{h(n-kNe)}}^2)\right)\\
&=\mathbb{S}^2.\frac{\sum_{n=0}^{Ne-1}\left(\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\abs*{{h(n-kNe)}}^2)\right)}{Ne}\\
\end{align*}
On peut simplifier $\sum_{n=0}^{Ne-1}\left(\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\abs*{{h(n-kNe)}}^2)\right)$ en $\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\abs*{h(k)}^2)$ on a donc:
\begin{align*}
Pst&=\mathbb{S}^2.\frac{\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\abs*{h(k)}^2)}{Ne}
\end{align*}
\newpage
\section{Ajout de bruit}
Le bruit ajouté par le canal n'est pas filtré par le filtre de mise en forme des données il occupe donc toute la bande d'échantillonage complexe (la moitié en réel). On considère qu'il s'agit d'un bruit blanc additif. Le bruit $Nk$ peut-être modélisé comme une variable aléatoire de variance 1 et d'espérance 0 additionnée au signal.
INSERER ICI JOLI GRAPH POURRI
La puissance du bruit $Pn = \mathbb{E}(\abs*{Nk}^2)$, sa densité $N0=\frac{Pn}{Fe}$ ou $Fe$ est la fréquence d'echantillonage, cependant cela n'est vrai qu'en complexe. En effet, la bande du signal échantilloné de manière complexe va de $\frac{-Fe}{2}$ à $\frac{Fe}{2}$, en réel cette bande va de $0$ à $\frac{Fe}{2}$
\subsection{Génération du bruit}
Rappelons Variance de $Nk$:
\begin{align*}
\sigma^2(Nk)=\mathbb{E}(\abs*{Nk}^2)-\abs*{\mathbb{E}(Nk)}^2
\end{align*}
A compléter plus tard sur la génération du bruit.
\newpage
\section{Energie par bit}
Rappelons tout d'abord l'équation complète utilisée pour calculer le BER d'une modulation:
\begin{align*}
\frac{Eb.Db}{N0.BW}
\end{align*}
Avec $Eb$ qui est l'energie par bit en Joules, $Db$ le débit binaire en $bits.s^{-1}$, $N0$ la densité de bruit en $watt.s^{-1}$
Définissons l'énergie par bit $Eb$ comme étant l'énergie d'un symbole $Es = Pst * Ne$ (énergie totale d'un symbole), divisée par le nombre de bit d'un symbole $Nb$.
\newpage
\end{document}
\contentsline {section}{\numberline {1}Introduction}{1}
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\contentsline {subsection}{\numberline {4.1}G\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration du bruit}{5}
\contentsline {section}{\numberline {5}Energie par bit}{6}
clear;
Ne = 10;
sym_array = [0.7+i*0.7 -0.7+i*0.7 -0.7-i*0.7 0.7-i*0.7];
Ns = 50;
%% Generate message
message = floor(rand(1, Ns) * length(sym_array)+1);
%% Replace symbol with complex value
cm = sym_array(message);
sym_filter = [0.7+i*0.7 0.7+i*0.7 0.7+i*0.7 0.7+i*0.7];
%% Generate the corresponding symbol pulses
%% this will be convoluted by the sym filter
signal = zeros(1, Ne*Ns);
signal(1:Ne:end) = cm;
for i = 1:Ns*Ne
end
import graph_pi;
graphicrules(xunit=1cm, yunit=2cm, xmin=-5, xmax=5, ymin=0, ymax=1.5);
grid(pTick=currentpen,ptick=dotted);
cartesianaxis(xticks=Ticks("%"), yticks=Ticks(NoZero,Step=1,step=.5), Arrow(2mm));
labeloij();
real f(real x) {return 1/(1+x^2);}
draw(graph(f), bp+fuchsia);
label("$y=\displaystyle\frac{1}{1+x^2}$",(1,f(1)),NE,fuchsia);
label("Cubique d’Agnesi",(-3,1.2),fuchsia);
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2}Rappel}{1}}
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entering extended mode entering extended mode
restricted \write18 enabled. restricted \write18 enabled.
%&-line parsing enabled. %&-line parsing enabled.
**vna_cal.tex **real_ft.tex
(./vna_cal.tex (./real_ft.tex
LaTeX2e <2017-04-15> LaTeX2e <2017-04-15>
Babel <3.18> and hyphenation patterns for 84 language(s) loaded. Babel <3.18> and hyphenation patterns for 84 language(s) loaded.
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls
...@@ -415,8 +415,8 @@ Package: fontenc 2017/04/05 v2.0i Standard LaTeX package ...@@ -415,8 +415,8 @@ Package: fontenc 2017/04/05 v2.0i Standard LaTeX package
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/t1enc.def (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/t1enc.def
File: t1enc.def 2017/04/05 v2.0i Standard LaTeX file File: t1enc.def 2017/04/05 v2.0i Standard LaTeX file
LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding T1 on input line 48. LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding T1 on input line 48.
)) (./vna_cal.aux) )) (./real_ft.aux)
\openout1 = `vna_cal.aux'. \openout1 = `real_ft.aux'.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 12. LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 12.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 12. LaTeX Font Info: ... okay on input line 12.
...@@ -441,37 +441,78 @@ LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 14. ...@@ -441,37 +441,78 @@ LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 14.
File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B
) [1 ) [1
{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] (./vna_cal.toc) {/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] (./real_ft.toc)
\tf@toc=\write3 \tf@toc=\write3
\openout3 = `vna_cal.toc'. \openout3 = `real_ft.toc'.
[2] [1] (./vna_cal.aux) ) [2]
! Undefined control sequence.
l.29 ...peut trouver $x \in \mathbb{R}, x \greater
0$ tel que:
The control sequence at the end of the top line
of your error message was never \def'ed. If you have
misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct
spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue,
and I'll forget about whatever was undefined.
[1] [2]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 62--63
[]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 69--70
[]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 71--72
[]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 78--79
[]
Overfull \hbox (70.84738pt too wide) detected at line 85
[]
[]
[3] [4]
Overfull \hbox (12.2461pt too wide) in paragraph at lines 97--100
\T1/cmr/m/n/10 Cette con-clu-sion nous per-met d'affirmer que l'information con
-tenu dans la reprsen-
[]
[5] [6] (./real_ft.aux) )
Here is how much of TeX's memory you used: Here is how much of TeX's memory you used:
1658 strings out of 492982 1660 strings out of 492982
16747 string characters out of 6134895 16769 string characters out of 6134895
71444 words of memory out of 5000000 74446 words of memory out of 5000000
5235 multiletter control sequences out of 15000+600000 5236 multiletter control sequences out of 15000+600000
14598 words of font info for 46 fonts, out of 8000000 for 9000 15374 words of font info for 47 fonts, out of 8000000 for 9000
1141 hyphenation exceptions out of 8191 1141 hyphenation exceptions out of 8191
27i,8n,26p,269b,199s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s 27i,9n,26p,290b,199s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s
{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t {/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1
1.enc}</usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmex10.pfb> .enc}</usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmex10.pfb><
</usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb></usr/ /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb></usr/s
share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi7.pfb></usr/share/t hare/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi7.pfb></usr/share/te
exlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb></usr/share/texlive/ xlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb></usr/share/texlive/t
texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr7.pfb></usr/share/texlive/texmf-di exmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr7.pfb></usr/share/texlive/texmf-dis
st/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fon t/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/font
ts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type s/type1/public/amsfonts/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1
1/public/amsfonts/symbols/msam10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1 /public/amsfonts/symbols/msam10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/
/public/amsfonts/symbols/msbm10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-sup public/amsfonts/symbols/msbm10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-supe
er/sfbx1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1440.pfb></us r/sfbx1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1200.pfb></usr
r/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/ /share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1440.pfb></usr/share/texmf/fonts/t
type1/public/cm-super/sfrm1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-supe ype1/public/cm-super/sfrm1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super
r/sfrm1728.pfb> /sfrm1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1728.pfb>
Output written on vna_cal.pdf (3 pages, 133979 bytes). Output written on real_ft.pdf (8 pages, 167678 bytes).
PDF statistics: PDF statistics:
71 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) 92 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
51 compressed objects within 1 object stream 66 compressed objects within 1 object stream
0 named destinations out of 1000 (max. 500000) 0 named destinations out of 1000 (max. 500000)
1 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) 1 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)
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\documentclass{article}
\title{Continuite}
\date{2019-01-16}
\author{Mehdi Khairy}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\begin{document}
\pagenumbering{gobble}
\maketitle
\newpage
\setcounter{tocdepth}{2}
\tableofcontents
\newpage
\pagenumbering{arabic}
\section{Definition}
\paragraph{}
Une fonction f est continue en un point a si:
\begin{equation*}
\forall \epsilon \in \mathbb{R}, \epsilon > 0
\end{equation*}
On peut trouver $x \in \mathbb{R}, x \greater 0$ tel que:
\begin{equation*}
\exists \eta, \lvert x - a \rvert \leqslant \eta, \lvert f(x) - f(a) \rvert \leqslant \epsilon
\end{equation*}
\section{Rappel}
\paragraph{}
$c(t)$ représente un signal continu complexe dépendant du temps. Celui-ci peut-être représenté par deux signaux réels, $r(t)$ et $b(t)$ respectant la relation suivante:
\begin{equation*}
\forall t \in \mathbb{R}, c(t)=r(t)+jb(t)
\end{equation*}
Nous accepterons aussi la validité de la transformée de Fourier du signal complexe $c(t)$ exprimée:
\begin{equation*}
\forall f \in \mathbb{R},\mathbb{F}^{\pm\infty}_c(f)\triangleq\int\limits_{-\infty}^{+\infty}c(t)e^{-j2\pi ft}\ dt
\end{equation*}
\newpage
\section{Transformée de Fourier du signal Complexe}
\paragraph{}
La transformée du signal complex peut-être séparée en deux intégrales disctinctes:
\begin{align*}
\forall f \in \mathbb{R},\mathbb{F}^{\pm\infty}_c(f)&=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}c(t)e^{-j2\pi ft}\ dt\\
\mathbb{F}^{\pm\infty}_c(f)&=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(r(t)+jb(t))e^{-j2\pi ft}\ dt\\
\end{align*}
En distribuant la multiplication on a:
\begin{align*}
\mathbb{F}^{\pm\infty}_c(f)&=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(r(t)+jb(t))e^{-j2\pi ft}\ dt\\
\mathbb{F}^{\pm\infty}_c(f)&=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}r(t)e^{-j2\pi ft}\ dt\ +\ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}jb(t)e^{-j2\pi ft}\ dt
\end{align*}
\newpage
\section{Transformée de Fourier du signal réel}
\paragraph{}
Il est possible de considerer un signal réel comme un signal complexe de partie imaginaire nulle $\forall r(t) \in \mathbb{R}$ et $\forall c(t) \in \mathbb{C}$,\ c(t)=a(t)+jb(t) on a :\\
\begin{align*}
r(t) = \Re(c(t)) = \frac{c(t)+c(t)^*}{2} = a(t) + j0 = a(t)
\end{align*}
\subsection{Passage complexe à réel}
\paragraph{}
On a donc deux expressions différentes pour décrire la Transformée de Fourier du signal réel, l'une basée sur la distribution de la multiplication dans l'intégrale et l'autre basée sur l'application de l'operateur "Partie réelle RE()" à un complexe.\\
\paragraph{}
Distribution:\\
\begin{align*}
\mathbb{F}^{\pm\infty}_r(f)&=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}r(t)e^{-j2\pi ft}\ dt\ +\ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}jb(t)e^{-j2\pi ft}\ dt\\
\mathbb{F}^{\pm\infty}_r(f)&=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}r(t)e^{-j2\pi ft}\ dt\ +\ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}j0e^{-j2\pi ft}\ dt\\
\mathbb{F}^{\pm\infty}_r(f)&=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}r(t)e^{-j2\pi ft}\ dt
\end{align*}
\paragraph{}
Partie réelle:\\
\begin{align*}
\mathbb{F}^{\pm\infty}_r(f)&=\frac{\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(c(t)+c(t)^*)e^{-j2\pi ft}\ dt}{2}\\
&=\frac{\int\limits_{-\infty}^{+\infty}r(t)e^{-j2\pi ft}\ dt\ +\ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}jb(t)e^{-j2\pi ft}\ dt\ +\int\limits_{-\infty}^{+\infty}r(t)e^{-j2\pi ft}\ dt\ -\ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}jb(t)e^{-j2\pi ft}\ dt}{2}\\
&=\frac{\int\limits_{-\infty}^{+\infty}r(t)e^{-j2\pi ft}\ dt\ +\int\limits_{-\infty}^{+\infty}r(t)e^{-j2\pi ft}\ dt}{2}\\
&=\frac{2*\int\limits_{-\infty}^{+\infty}r(t)e^{-j2\pi ft}\ dt}{2}\\
\mathbb{F}^{\pm\infty}_r(f)&=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}r(t)e^{-j2\pi ft}\ dt
\end{align*}
Les deux versions donnant le même résultat on est rassuré :D
\newpage
\subsection{Limitation aux fréquences positives}
\paragraph{}
Comme montré plus haut, on a $\mathbb{F}^{\pm\infty}_r(f)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}r(t)e^{-j2\pi ft}\ dt$, nous nous attacherons à montrer que cette expression nous permet de limiter la plage de fréquences
prise en compte de $[0,+\infty]$ tel qu'apparaissant sur les équipements de mesures.
\begin{align*}
\mathbb{F}^{\pm\infty}_r(f)&=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}r(t)e^{-j2\pi ft}\ dt\\*
\forall f \leqslant 0, \int\limits_{-\infty}^{+\infty}r(t)e^{-j2\pi ft}\ dt &=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}r(t)e^{-j2\pi (-1f)t}\ dt\\*
&=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}r(t)e^{j2\pi (f)t}\ dt\\*
\end{align*}
Sachant que $e^{-j2\pi (f)t}=(e^{j2\pi (f)t})^*$ on en déduit donc que, $\forall f \in \mathbb{R}$ on a $\mathbb{F}^{\pm\infty}_r(f)=(\mathbb{F}^{\pm\infty}_r(f))^*$\\*
Cette conclusion nous permet d'affirmer que l'information contenu dans la représentation en fréquence de $r(t), \forall f \in ]-\infty,0[$ est redondante est peut donc être ignorée sans perte ! On dit définit donc:
\begin{align*}
\mathbb{F}^{+\infty}_r(f)&=\int\limits_{0}^{+\infty}r(t)e^{-j2\pi ft}\ dt\\*
\end{align*}
comme représentation nécessaire et suffisante en fréquence du signal réel $r(t)$. C'est à dire que l'on peut reconstruire $r(t)$ depuis $\mathbb{F}^{+\infty}_r(f)$ sans perte.
\newpage
\subsection{Transformation inverse}
\paragraph{}
La transformée de fourier inverse se définie de la manière suivante:
\begin{align*}
\forall f \in \mathbb{R},c(t)\triangleq\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\mathbb{F}^{\pm\infty}_c(f)e^{j2\pi ft}\ dt
\end{align*}
Comme définit précédemment $c(t)$ est un signal complexe, nous nous attacherons donc à trouver le lien nous permettant d'exprimer la transformée de fourier inverse pour un signal réel.
\end{document}
\contentsline {section}{\numberline {1}Definition}{1}
\contentsline {paragraph}{}{1}
\contentsline {section}{\numberline {2}Rappel}{1}
\contentsline {paragraph}{}{1}
\contentsline {section}{\numberline {3}Transform\IeC {\'e}e de Fourier du signal Complexe}{2}
\contentsline {paragraph}{}{2}
\contentsline {section}{\numberline {4}Transform\IeC {\'e}e de Fourier du signal r\IeC {\'e}el}{3}
\contentsline {paragraph}{}{3}
\contentsline {subsection}{\numberline {4.1}Passage complexe \IeC {\`a} r\IeC {\'e}el}{3}
\contentsline {paragraph}{}{3}
\contentsline {paragraph}{}{3}
\contentsline {paragraph}{}{4}
\contentsline {subsection}{\numberline {4.2}Limitation aux fr\IeC {\'e}quences positives}{5}
\contentsline {paragraph}{}{5}
\contentsline {subsection}{\numberline {4.3}Transformation inverse}{6}
\contentsline {paragraph}{}{6}
clear;
% To be included in an other file
function sig = modulate(msg, syms)
nb_sample = columns(syms);
sig = zeros(1, nb_sample * length(msg));
for i = 1:length(msg)
sym_index = msg(i);
l_index = 1 + (i-1) * nb_sample;
h_index = i * nb_sample;
sig(l_index:h_index) = syms(sym_index,:);
end
endfunction
freq_step = 6.25; % 50Hz / 8
nb_freq = 8;
FS = 625;
nb_sample = 100; % Some information talk about 160ms symbol duration
sym_array = zeros(nb_freq, nb_sample);
t = (1:nb_sample);
for i = 1:nb_freq
fstart = 0 - (nb_freq-1) / 2;
findex = (fstart + i) * freq_step;
sym_freq = exp(j*2*pi*(findex/FS)*t);
sym_array(i,1:nb_sample) = sym_freq;
end
plot(real(sym_array(1,:)));
hold on;
plot(real(sym_array(2,:)));
plot(real(sym_array(3,:)));
plot(real(sym_array(4,:)));
% FT8 is 79 symbol: 7 + 29 + 7 + 29 + 7
costas = [2 5 6 0 4 1 3];
costas = costas + 1; % Avoid 0 indexing
msg_len = 79;
data_block = 29;
msg = floor(rand(1, msg_len) * nb_freq + 1);
msg(1:7) = costas;
msg(37:43) = costas;
msg(73:79) = costas;
total_samples = msg_len * nb_sample;
signal = zeros(1,total_samples);
signal = modulate(msg, sym_array);
costas_mod = modulate(costas, sym_array);
%for i = 1:length(msg)
% sym_index = msg(i);
% l_index = 1 + (i-1) * nb_sample;
% h_index = i * nb_sample;
% signal(l_index:h_index) = sym_array(sym_index,:);
%end
% signal is now containing a fake frame of FT8
This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.18 (TeX Live 2017/Debian) (preloaded format=pdflatex 2018.10.31) 31 OCT 2018 00:53 This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.18 (TeX Live 2017/Debian) (preloaded format=pdflatex 2018.10.31) 13 AUG 2019 11:03
entering extended mode entering extended mode
restricted \write18 enabled. restricted \write18 enabled.
%&-line parsing enabled. %&-line parsing enabled.
...@@ -81,6 +81,16 @@ LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 713. ...@@ -81,6 +81,16 @@ LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 713.
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2817. LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2817.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2818. LaTeX Info: Redefining \] on input line 2818.
) )
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2013/01/14 v3.01 AMS font symbols
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
Package: amsfonts 2013/01/14 v3.01 Basic AMSFonts support
\symAMSa=\mathgroup4
\symAMSb=\mathgroup5
LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 106.
))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
Package: inputenc 2015/03/17 v1.2c Input encoding file Package: inputenc 2015/03/17 v1.2c Input encoding file
\inpenc@prehook=\toks19 \inpenc@prehook=\toks19
...@@ -421,33 +431,39 @@ LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 11. ...@@ -421,33 +431,39 @@ LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 11.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 11. LaTeX Font Info: ... okay on input line 11.
LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 11. LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 11.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 11. LaTeX Font Info: ... okay on input line 11.
[1 LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 13.
{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols A
)
LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 13.
LaTeX Warning: Command \^ invalid in math mode on input line 23. (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B
) [1
Missing character: There is no in font cmr10! {/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [1] (./hilbert_analyzis.au
[1] (./hilbert_analyzis.aux) ) x) )
Here is how much of TeX's memory you used: Here is how much of TeX's memory you used:
1363 strings out of 492982 1655 strings out of 492982
13577 string characters out of 6134895 16800 string characters out of 6134895
68986 words of memory out of 5000000 69442 words of memory out of 5000000
4962 multiletter control sequences out of 15000+600000 5235 multiletter control sequences out of 15000+600000
12118 words of font info for 34 fonts, out of 8000000 for 9000 14598 words of font info for 46 fonts, out of 8000000 for 9000
1141 hyphenation exceptions out of 8191 1141 hyphenation exceptions out of 8191
27i,6n,20p,239b,187s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s 27i,6n,26p,232b,199s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s
{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-sup {/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}</usr/share/texl
er-t1.enc}</usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi10. ive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texlive/te
pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb></u xmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dis
sr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1000.pfb></usr/share/texmf/fonts t/fonts/type1/public/amsfonts/symbols/msbm10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/
/type1/public/cm-super/sfbx1440.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-sup public/cm-super/sfbx1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx
er/sfrm1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1200.pfb></us 1440.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1000.pfb></usr/share
r/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1728.pfb> /texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/p
Output written on hilbert_analyzis.pdf (2 pages, 77685 bytes). ublic/cm-super/sfrm1728.pfb>
Output written on hilbert_analyzis.pdf (2 pages, 82266 bytes).
PDF statistics: PDF statistics:
40 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) 44 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
28 compressed objects within 1 object stream 31 compressed objects within 1 object stream
0 named destinations out of 1000 (max. 500000) 0 named destinations out of 1000 (max. 500000)
1 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) 1 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)
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